Les ondes guidées suscitent un grand intérêt car ce sont des phénomènes que l'on rencontre dans la nature (guidage de la houle par le relief sous-marin, ondes de surface lors de tremblements de terre,...) ou qui interviennent dans de nombreuses applications technologiques (fibres optiques, microguides opto-électroniques ...).
L'étude des résonances (ce sont les fréquences pour lesquelles la réponse d'un milieu ou d'un objet soumis à une excitation périodique en temps présente un maximum) présente également de nombreuses applications : stabilité d'un navire soumis à la houle, détection radar, instruments de musique,...
Les problèmes d'ondes guidées et les problèmes de résonances, bien que relatifs à des phénomènes physiques assez différents, relèvent d'un même domaine mathématique, celui de la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints. C'est pourquoi nous avons rassemblé dans cette section nos recherches sur ces deux domaines.
L'étude de la propagation dans un guide devient délicate lorsque celui-ci est de section variable, coudé, et/ou avec des conditions aux limites sur les parois de guide plus complexes qu'une condition de surface rigide (pertes visqueuses, thermiques ou par radiation). Une technique multimodale (utilisation de la base spectrale de l'opérateur transverse) ou une détermination de l'impédance généralisée associée à chaque section du guide (grâce à la méthode de factorisation de l'équation d'Helmholtz) peuvent alors être employées.
Lorsque l'on veut résoudre un problème de diffraction dans un guide d'ondes localement perturbé, on se restreint à une portion du guide, contenant la perturbation : la connaissance des modes du guide est alors utile pour l'écriture de conditions transparentes sur les frontières artificielles du domaine de calcul. Cette question rejoint bien évidemment la thématique des frontières artificielles.
