Séminaire

Résumé de M. Breden : The goal of a posteriori validation methods is to get a quantitative and rigorous description of some specific solutions of nonlinear ODEs or PDEs, based on numerical simulations. The general strategy consists in combining a priori and a posteriori error estimates, interval arithmetic, and a fixed point theorem applied to a quasi-Newton operator. Starting from a numerically computed approximate solution, one can then prove the existence of a true solution in a small and explicit neighborhood of the numerical approximation.
I will first present the main ideas behind these techniques on a simple example, then describe a rather general framework in which they can be applied, and finally, time permitting, discuss some applications in population dynamics, fluid dynamics or wave propagation.

Résumé de C. Dapogny : Le besoin d'optimiser la forme des pièces mécaniques dès les premières étapes de la conception est de plus en plus criant dans l'industrie, à mesure que le coût des matières premières augmente.
L'une des difficultés majeures dans la mise en œuvre numérique d'algorithmes dédiés à l'automatisation de cette tâche est la difficulté de concilier des calculs mécaniques précis, pour évaluer le critère d'optimisation et son "gradient", avec une description robuste des modifications apportées à la forme entre deux itérations du processus. Cette présentation est basée sur des travaux en collaboration avec G. Allaire, F. Feppon et P. Frey. Après une description synthétique de quelques notions de base concernant l'optimisation de formes, on proposera une stratégie numérique qui permet d'allier des calculs mécaniques précis avec une évolution arbitraire de la forme. Celle-ci combine deux représentations différentes de la forme optimisée : d'une part par un maillage exact de celle-ci (ce qui permet de mener des calculs précis par éléments finis), d'autre part par la méthode des lignes de niveaux (ce qui permet de rendre compte de manière robuste de son évolution entre les itérations du processus). Des algorithmes efficaces permettent de passer de l'une à l'autre en fonction de leur intérêt respectif au regard de l'opération effectuée. On illustrera cette idée avec plusieurs exemples numériques dans diverses situations physiques.