Séminaire

Les solutions de l’équation de Helmholtz peuvent être approchées sous la forme d’une superposition d’ondes planes propagatives. Cependant, lorsque le nombre d’ondes planes devient trop grand, ces approximations deviennent instables numériquement. Cela est dû à la présence de coefficients exponentiellement grands dans la combinaison linéaire, dès lors que la solution contient des composantes hautes-fréquences dans le domaine de Fourier. Je montrerai comment l'approximation peut être stabilisée en utilisant des ondes planes évanescentes (avec une direction de propagation complexe). Un résultat essentiel a été d’établir que toutes les solutions de l’équation de Helmholtz dans la boule unité peuvent être exactement représentées sous forme intégrale comme la superposition continue d’ondes planes évanescentes, généralisant ainsi la représentation de Herglotz standard. Nous proposons en outre une procédure numérique permettant de construire des ensembles d’ondes planes évanescentes adéquates, à l’aide de méthodes d’échantillonnage dans le domaine paramétrique. Les approximations ainsi construites sont précises et stables numériquement, ce qui peut être exploité par les méthodes de Galerkine discontinues de type Trefftz par exemple.

Travail en collaboration avec Andrea Moiola (Pavia), Nicola Galante (Pavia) et Daan Huybrechs (KU Leuven).