Séminaire

David Lafontaine (Bath) - Application de l’analyse semi-classique à trois problèmes provenant de l’analyse numérique de l’équation d’Helmholtz

Lorsque l’on étudie la dispersion d’une onde par un obstacle dans la limite des hautes fréquences, les domaines de l’analyse numérique et de l’analyse semi-classique visent tous deux à comprendre le comportement de l’onde dispersée. Ces deux domaines ont cependant historiquement opéré en isolation l’un de l’autre. Je présenterai trois résultats d’analyse numérique que nous avons obtenus récemment grâce au transfert de connaissance entre ces deux domaines. Le premier (en collaboration avec Euan Spence et Jared Wunsch), qui vise à quantifier la rareté du comportement induit par des rayons captés de l’optique géométrique, permet, pour la plupart des fréquences, de s’affranchir de l’hypothèse de non-captivité dans un grand nombre de résultats d’analyse numérique de l’équation d’Helmholtz; le second (avec les mêmes co-auteurs) est une borne optimale d’erreur relative pour la méthode h-FEM appliquée à la résolution de cette même équation; le troisième (en collaboration avec Jeffrey Galkowski et Euan Spence) montre que pour résoudre l’équation d’Helmholtz, tronquer le domaine en imposant des conditions artificielles du type impédance est « mauvais », car donne une erreur relative indépendante de la fréquence.

Marc Josien (MPI Leipzig) - Homogénéisation d’une interface entre deux matériaux hétérogènes.

Dans cet exposé, on s’intéresse à un problème d’homogénéisation représentant une interface plane entre deux matériaux hétérogènes différents. L’équation considérée est linéaire, elliptique et sous la forme divergence $-\div(a(\frac{x}{\varepsilon})\cdot \nabla u{\varepsilon}(x)) =f(x)$ , où $\varepsilon\ll 1$. Toutefois, contrairement au cadre classique, l’équation homogénéisée obtenue ne fait pas intervenir un coefficient constant, mais un coefficient quiest seulement constant par morceaux et discontinu au passage de l’interface.Nous introduisons une définition de développement à deux échelles spécifique à ce problème et démontrons dans un cas simple que l’on peut obtenir une approximation locale précise du gradient $\nabla u{\varepsilon}$ au voisinage de l’interface.