Séminaire

14h: Karim Ramdani "Reconstruction d'une cavité 2D par transformation conforme"

Dans ce travail effectué en collaboration avec Alexandre Munnier (Université de Lorraine), nous proposons une nouvelle méthode de reconstruction d’une cavité 2D à partir de la connaissance de l’opérateur DtN du problème. A l’aide d’une formulation intégrale du problème, nous montrons dans un premier temps que la connaissance de l’opérateur DtN permet de déterminer les tenseurs de polarisation généralisés de Polia-Szegö associées à la cavité. Dans un second temps, nous montrons que la connaissance de ces tenseurs permet de calculer explicitement la transformation conforme envoyant l’extérieur du disque unité sur l’extérieur de la cavité. Nous présenterons pour finir quelques résultats numériques de reconstruction effective.

15h30: Rémi Cornaggia "Dérivées topologiques d'ordre élevé en élasticité linéaire. Application à la localisation et la caractérisation d'inhomogénéités"

Ce travail se place dans le cadre du contrôle non-destructif : le but est d'identifier la position et la taille d’un obstacle pénétrable en élasticité linéaire, statique ou dynamique. On s'appuie pour cela sur une fonction-coût d'un obstacle test que l'on cherche à minimiser par rapport à ces deux paramètres. Dans l’hypothèse de “petits” défauts (par exemple par rapport aux longueurs d'onde en elastodynamique), un préambule à cette minimisation peut être d'approximer cette fonction coût par un développement asymptotique par rapport à la petite taille d’un obstacle test. Le premier terme de ce développement, appelé dérivée (ou gradient) topologique de la fonction coût, a en particulier été étudié et utilisé dans de nombreux contextes comme un indicateur qualitatif de l’emplacement d’un défaut.

L’extension du développement à des ordres plus élevés fournit une approximation polynomiale de la fonction-coût aisée à minimiser par rapport à la taille de l'obstacle test. Le calcul de cette extension sera présenté en elastostatique et elastodynamique fréquentielle. La procédure d'identification de l'obstacle qui en découle sera ensuite détaillée et illustrée par quelques exemples numériques.