Séminaire

14h: Laurent Baratchart: "Problèmes inverses de potentiel et approximation rationnelle"

Un problème inverse classique, et fondamental, est de déterminer un potentiel à partir de mesures du champ réalisées sur une courbe (en 2D) ou une surface (en 3D) entourant le support de la source. Nous nous restreignons ici au cas d'un potentiel harmonique standard, c'est à dire la solution u de $-\Delta u=$\mu$ où la source $\mu$ est une mesure finie a support compact et $\Delta$ l'opérateur de Laplace. On normalisera u par convention de sorte qu'il soit "petit" a l'infini, disons O(log|z|) en 2D et o(1) en 3D. Le champ, par définition, est le gradient du potentiel.

Ce problème inverse est connu pour être mal posé, pas même injectif. Ainsi toute opération de reconstruction doit faire des hypothèses sur $\mu$, qui participent du processus de régularisation. Une question naturelle, en relation avec la modélisation des "petits objets" par des "points matériels", est de savoir comment se répartissent N sources ponctuelles pour que le champ du potentiel discret qu'elles engendrent soit aussi proche que possible, disons au sens $L^p$ sur la courbe ou la surface d'observation, du champ réel engendré par une source inconnue (non nécessairement discrète). En un sens, répondre à la question revient a comprendre l'effet d'une régularisation fondée sur la taille d'un modèle discret, pour un critère d'attache aux données de type $L^p$. C'est ce qu'on pourrait nommer une "discrétisation optimale" du potentiel (au sens $L^p$).

En dimension 2, où les champs des potentiels discrets à $N$ masses sont les fractions rationnelles de degré N, ceci revient à étudier le comportement des pôles en approximation rationnelle dans les espaces de Hardy holomorphes du complément du domaine. En dimension 3, ceci conduit à définir considérer une notion d'approximation rationnelle qui n'est pas classique.

Le problème est difficile : dans quelle mesure les singularités d'un approximant se relient-elles aux singularités de l'approximé? En dimension 2, des résultats importants ont été obtenus récemment concernant la distribution asymptotique des pôles des approximants rationnels pour des potentiels continuables harmoniquement excepté sur un ensemble de capacité nulle (la continuation peut avoir plusieurs branches), et la réponse fait intervenir la solution de certains problèmes extrémaux géométriques pour le potentiel logarithmique. Plus généralement, on peut aborder ainsi le cas de certaines sources de dimension 1. L'essentiel de l'exposé sera consacré à expliquer ces résultats.

On brossera ensuite des perspectives pour le cas de singularités de dimension 2 en 2D, et on évoquera pour finir le cas essentiellement ouvert de la dimension 3.

15h:30 Houssem Haddar: "A Conformal Mapping Method Applied to Inverse Scattering Problems"

In a series of papers over the last decade we have developed jointly with R. Kress a conformal mapping technique for the inverse problem to recover the shape of an inclusion in a homogeneous background medium from Cauchy data for the Laplace equation on the accessible exterior boundary. This method has been first introduced by Akduman and Kress for the case of perfectly conducting inclusions. In this talk we will present a recent work with R. Kress using this conformal mapping approach to solve inverse scattering problems, i.e., inverse boundary value problems for the Helmholtz equation for low frequencies via an iterative procedure. We desribe the foundations of this new method including a convergence result and exhibit its feasibility via numerical examples.