Séminaire

Exposé 1

Florian Maurin

Etude des solitons dans les milieux périodiques flambés : équation de dispersion semi-analytique et généralisation du théorème de Bloch aux structures périodiques par réflexions glissées ou hélicoïdales

Résumé

Les structures périodiquement flambées sont des milieux dispersifs et géométriquement non-linéaires dans lesquelles peuvent se propager des solitons (ondes non-linéaires et stationnaires). Afin de modéliser ces ondes, il est nécessaire de quantifier les différentes sources dispersives comme le couplage des déplacements dans les courbures. Cette modélisation étant difficile analytiquement, la première partie de cet exposé sera consacrée à la présentation d’une méthode basée sur le théorème de Bloch, aboutissant à une équation de dispersion semi-analytique et permettant d’étudier la structure en tant que guide d’onde [1]. La structure étant également périodique par réflexion glissée (glide symmetric), nous montrerons dans une deuxième partie qu’il est possible de réduire de moitié la périodicité considérée dans le théorème de Bloch, moyennant une adaptation des conditions aux limites. Cette généralisation du théorème s’applique également aux structures hélicoïdales comme les câbles, permettant notamment l’analyse de structures n’ayant pas de symétries en pure translation et pour lesquelles l’utilisation du théorème classique de Bloch n’était auparavant pas possible (ex : tetrahelix) [2].

[1] F. Maurin, A. Spadoni, Wave dispersion in periodic post-buckled structures, JSV, 333 (19) (2014).

[2] F. Maurin, A. Spadoni, Bloch theorem with revised boundary conditions applied to glide plane and screw axis symmetric, quasi-one-dimensional structures, ECCM V, Barcelona, (2014).

Exposé 2

Romain Joly

Un modèle 1D pour une flûte avec un trou ouvert

Résumé

Dans cet exposé, nous allons considérer un tube fin, dont la paroi est percée d'un petit trou. Pour comprendre le spectre de résonance de ce tube (i.e. les valeurs du laplacien associées aux conditions aux bords adéquates), nous allons faire tendre le diamètre du tube vers 0 et décrire la limite du spectre. Nous verrons que ce spectre correspond à celui d'un opérateur 1D, qui est une modification du Laplacien, et dont le spectre n'est plus harmonique (les hautes fréquences ne sont pas multiples de la fréquence fondamentale, contrairement au Laplacien 1D classique). Les techniques mathématiques utilisées sont basées sur les techniques du type "domaines minces multi-échelles".